kürzeste (Rund-)Reise / nicht TSP

[Astralkeks]

Hallo zusammen,

folgendes Problem stellt sich für mich:

Ich suche einen Algorithmus ähnlich einem, der das Travelling Salesman Problem löst. Nur muß in meiner Anforderung das Ende der Reise nicht mit dem Anfang übereinstimmen, ein kürzester Weg, der alle Orte (gegeben mit x,y-Koordinaten) besucht, und bei einem gegebenen (festen) Startpunkt beginnt, reicht.

Optimal wäre für mich (falls jemand dieses Problem bereits gelöst hat) ein realisierter Algorithmus in PHP. Ein nicht ausprogrammierter Algorithmus würde mir sicher auch weiterhelfen!

Gruß
Astralkeks

[penizillin]

meinst du vielleicht das mst-problem?
http://en.wikipedia.org/wiki/Minimum_spanning_tree

[Astralkeks]

Nein, denn das bildet keine günstige Reise ab, nur einen Spannbaum (wie der name schon sagt).
Ich suche die Lösung für Probleme wie:
Ich wohne in Hamburg, und möchte die Städte Dortmund, Berlin, Bonn, Stuttgart und München besuchen und möglichst wenig Spirit verfahren.
Das MST ist da ungeeignet.
Edit:
Um Missverständnisse zu vermeiden: Die Rückreise nach Hamburg ist unerheblich dabei (sonst wäre es ja wieder TSP)

[penizillin]

dann nimm doch tsp und schmeiß die letzte kante ("nach hamburg zurück") einfach weg. dadurch wirst du nicht unbedingt _die_ kürzeste reise, aber _eine der_ kürzesten erwischen.

[Marcusson]

Genau _DIE_ kürzeste Reise kriegst du sowieso nicht, denn TSP ist AFAIK NP-vollständig. Eventuell bekommst du aber eine gute Näherung.

[TobiaZ]

naja, das ganze geht ziemlich in diese Richtung allerdings musst du da noch die tatsächliche entfernung in Metern(?) mit reinbringen.

[onemorenerd]

Ich kenne TSP als "nur" NP-hart, erst die Fragestellung "Gibt es eine Route, die kürzer ist als x?" ist -vollständig.

Und TSP wird normalerweise greedy implementiert, also mit einem Algorithmus, der in jedem Schritt das Optimum wählt, in der Annahme, dass das globale Optimum in der Nähe der Folge aller lokalen Optima liegt. Selbst wenn man das Lokalitätsprinzip etwas aufbohrt, in dem man das Optimum innerhalb eines Fensters der letzten x Kanten sucht - was die Komplexität direkt beeinflusst - bleibt es ein Greedy-Algorithmus.
Erst wenn das Fenster so groß ist wie der kürzeste Weg ist das lokale Optimum innerhalb des Fensters gleich dem globalen Optimum. Die dadurch gegebene Komplexität will man aber sicher nicht in Kauf nehmen.

Deshalb kann man nicht einfach TSP laufen lassen und am Ende die Rückreise zum Ausgangspunkt streichen. Denn dieser letzte Weg geht in den zu findenden kürzesten Pfad mit ein. Streicht man ihn einfach raus, ist der verbliebene Weg nicht mehr notwendigerweise der kürzeste.


Vielleicht wirds anhand eines Beispiels verständlicher:

Seien A, B, C, D Knoten mit folgenden Entfernungen:
A -> B = 1
A -> C = 2
A -> D = 3
B -> C = 4
B -> D = 3
C -> D = 6
Wir starten in A.
Die möglichen Rundreisen und ihre Längen sind:
A-B-C-D-A = 1-4-6-3 = 14
A-B-D-C-A = 1-3-6-2 = 12
A-C-B-D-A = 2-4-3-3 = 12
A-C-D-B-A = 2-6-3-1 = 12
A-D-B-C-A = 3-3-4-2 = 12
A-D-C-B-A = 3-6-4-1 = 14
Ein greedy TSP-Algorthmus hätte A-B-D-C-A als Lösung angegeben, was sogar tatsächlich eine der optimalen Lösungen ist. Aber läßt man von dieser Lösung den Rückweg C-A einfach untern Tisch fallen, bleibt A-B-D-C übrig. Das ist allerdings keine optimale Lösung mehr! Denn A-C-B-D und auch A-D-B-C wären kürzer (9).

Das war sicher mühselig zu lesen, aber hoffentlich leicht zu verstehen. Man kann nicht einfach eine TSP-Lösung ändern und behaupten, es wäre immernoch eine Lösung!

Das läßt sich auf die Unzulänglichkeit von Greedy für TSP reduzieren und beweist, dass Greedy für o.g. Problem nicht garantiert optimale Lösungen liefert. Wer hätte das gedacht...


@TO: Google mal nach AHOP, vielleicht hilfts weiter.

[penizillin]

Marcusson: die zugehörigkeit zur klasse der NP-vollständigen sagt nichts über die lösbarkeit aus. triviales beispiel: ein graph mit zwei knoten und einer kante dazwischen.

onemorenerd: vollkommen richtig. was ich mir überlegt hatte, war der bezug zu einer realen aufgabe. wenn es tatsächlich um (groß-)städte in deutschland geht, betrachten wir 2 möglichkeiten für die letzte kante:

- letzte kante sehr lang (vielleicht 600 km)
da diese in der (angenäherten) lösung eines tsp-problems vorkam, wird sie höchstwahrscheinlich nicht umzugehen sein (beispiel: jemand kommt aus rostock und muss 15 orte in südbayern besuchen)

- letzte kante sehr kurz (z.b. wenige km)
ich starte z.b. in köln, fahre durch alle neuen bundesländer und der vorletzte knoten ist bonn. ob ich nach bonn oder nach köln zurückkomme, wird die "optimalität" der lösung minimal beeinflussen.

offensichtlich liegt die schwäche dieser überlegung in den mittellangen strecken... mit sicherheit lassen sich graphen konstruieren, deren rundreise sich dramatisch verändert, wenn man die letzte kante weglässt.